Correzione compito in classe

classe IV, Ottobre 2006

Disegna la curva di equazione 2xy–4x–1=0. Scrivi l’equazione della tangente alla curva in un punto A del II quadrante e passante per O(0,0). Trova il punto B ulteriore intersezione della curva con la retta normale alla stessa curva in A. Determina infine le coordinate del punto equidistante dai punti O, A e B. 
L'equazione della curva esplicitando la y è
	

Si tratta di una funzione omografica e quindi 
il grafico è un'iperbole equilatera riferita a
assi paralleli agli asintoti, di equazione
	x=0 e y=2.
L'equazione della retta tangente in un punto A(x0, y0)
della curva è, con la formula di sdoppiamento, è
	
 
in forma canonica 	x(y0–2)+x0y–1–2x0=0


Le coordinate del punti A con tangente passante per O
devono perciò soddisfare la condizione 1 + 2x0 = 0. 
Quindi
	
 
La pendenza della retta tangente è dunque:
	
 
Quindi l'equazione della retta tangente in A è:
	
 
L'equazione della normale in A all'iperbole è
	
 

Il punto B ulteriore intersezione di quest'ultima retta con l'iperbole
si trova risolvendo il sistema
	

Da 
	

ovvero
	2x2-3x-2=0
si ricava, oltre che l'ascissa di A, il valore x=2. Così
	
 Infine il centro della circonferenza passante per O, A e B è, essendo il triangolo retto in A,
il punto medio dell'ipotenusa OB.
pagina di Roberto Ricci L.S. "A. Righi", Bologna. Ultima revisione